115. Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть Q
— точка касания окружностей, A_{1}
— точка касания построенной окружности и данной прямой, O
— центр данной окружности, O_{1}
— центр построенной окружности, M
— данная точка, AP
— диаметр данной окружности, перпендикулярный данной прямой, K
— точка пересечения его продолжения с данной прямой, P
лежит между A
и K
.
Заметим, что точки A
, Q
и A_{1}
лежат на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников AQP
и AKA_{1}
следует, что
AK\cdot AP=AQ\cdot AA_{1}.
Пусть T
— вторая точка пересечения прямой AM
с построенной окружностью. Тогда
AQ\cdot AA_{1}=AM\cdot AT.
Поэтому
AK\cdot AP=AM\cdot AT.
Следовательно, точки P
, K
, M
и T
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки M
, K
и P
. Если прямая AM
пересекает эту окружность в точке T
, отличной от точки M
, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки M
и T
и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Второй способ. Пусть M
— данная точка, l
— данная прямая, S
— данная окружность.
Предположим, что искомая окружность \Omega
построена. При инверсии относительно произвольной окружности с центром M
прямая l
, не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность l'
, окружность S
, не проходящая через центр инверсии, — в окружность S'
, а окружность \Omega
, проходящая через центр инверсии, — в прямую \Omega'
, касающуюся окружностей l'
и S'
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы l'
и S'
данных прямой l
и окружности S
при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке M
, а затем проводим общие касательные к окружностям l'
и S'
. Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.