115. Через данную точку проведите окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности.
Решение. Первый способ. Предположим, что задача решена. Пусть
Q
— точка касания окружностей,
A_{1}
— точка касания построенной окружности и данной прямой,
O
— центр данной окружности,
O_{1}
— центр построенной окружности,
M
— данная точка,
AP
— диаметр данной окружности, перпендикулярный данной прямой,
K
— точка пересечения его продолжения с данной прямой,
P
лежит между
A
и
K
.
Заметим, что точки
A
,
Q
и
A_{1}
лежат на одной прямой. Из подобия прямоугольных треугольников
AQP
и
AKA_{1}
следует, что
AK\cdot AP=AQ\cdot AA_{1}.

Пусть
T
— вторая точка пересечения прямой
AM
с построенной окружностью. Тогда
AQ\cdot AA_{1}=AM\cdot AT.

Поэтому
AK\cdot AP=AM\cdot AT.

Следовательно, точки
P
,
K
,
M
и
T
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим окружность, проходящую через точки
M
,
K
и
P
. Если прямая
AM
пересекает эту окружность в точке
T
, отличной от точки
M
, то задача сводится к построению окружности, проходящей через точки
M
и
T
и касающейся данной окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Второй способ. Пусть
M
— данная точка,
l
— данная прямая,
S
— данная окружность.
Предположим, что искомая окружность
\Omega
построена. При инверсии относительно произвольной окружности с центром
M
прямая
l
, не проходящая через центр инверсии, перейдёт в окружность
l'
, окружность
S
, не проходящая через центр инверсии, — в окружность
S'
, а окружность
\Omega
, проходящая через центр инверсии, — в прямую
\Omega'
, касающуюся окружностей
l'
и
S'
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образы
l'
и
S'
данных прямой
l
и окружности
S
при инверсии относительно некоторой окружности с центром в данной точке
M
, а затем проводим общие касательные к окружностям
l'
и
S'
. Образы этих касательных при той же инверсии есть искомые окружности.
Если данные точка и окружность расположены по одну сторону от данной прямой и точка лежит вне окружности, то задача имеет четыре решения.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 187, с. 20