116. Противоположные стороны четырёхугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках P
и Q
. Найдите PQ
, если касательные к окружности, проведённые из точек P
и Q
, равны a
и b
.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть DA
и CB
пересекаются в точке Q
, BA
и CD
— в точке P
, а окружность, описанная около треугольника ABQ
, пересекает отрезок PQ
в точке M
.
Поскольку
\angle BMP=180^{\circ}-\angle BMQ=180^{\circ}-\angle BAQ=180^{\circ}-\angle BCD=180^{\circ}-\angle BCP,
то около четырёхугольника CBMP
можно описать окружность. Тогда
QM\cdot QP=QC\cdot QB=QA\cdot QD=b^{2},~PM\cdot PQ=PA\cdot PB=PC\cdot PD=a^{2}.
Сложив почленно эти равенства, получим, что
a^{2}+b^{2}=QM\cdot QP+PM\cdot PQ=PQ(QM+PM)=PQ^{2}.
