117. Окружность и прямая касаются в точке M
. Из точек A
и B
этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a
и b
соответственно. Найдите расстояние от точки M
до прямой AB
.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Если прямая AB
параллельна касательной, то всё очевидно.
Пусть указанная касательная и прямая AB
пересекаются в точке K
под углом \alpha
, а x
— искомый отрезок. Тогда
\sin\alpha=\frac{b}{BK}=\frac{x}{MK}=\frac{a}{AK}.
Перемножив почленно равенства
\frac{a}{AK}=\frac{x}{MK},~\frac{b}{BK}=\frac{x}{MK},
получим:
\frac{ab}{AK\cdot BK}=\frac{x^{2}}{MK^{2}}.
Поскольку AK\cdot BK=MK^{2}
, то x^{2}=ab
. Следовательно, x=\sqrt{ab}
.
