118. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник
ABCDEF
. Из точки
K
, лежащей на продолжении стороны
AF
так, что
KA\lt KF
и
KA=\sqrt{11}-1
, проведена секущая
KH
, пересекающая окружность в точках
N
и
H
. Известно, что внешняя часть секущей
KN
равна 2
(KN=2)
, а угол
NFH
— тупой. Найдите угол
HKF
.
Ответ.
\arccos\frac{37}{2(7\sqrt{11}-\sqrt{21})}=\arccos\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}=\arcsin\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{77}}{28}
.
Указание.
KA\cdot FK=KN\cdot KH
.
Решение. Первый способ. Пусть
O
— центр окружности;
P
,
Q
— середины хорд
NH
и
AF
. Поскольку
KA\cdot FK=KN\cdot KH
, то
(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).

Отсюда находим, что
NH=3
,
KH=KN+NH=5
.
Из прямоугольных треугольников
HPO
и
FQO
находим, что
OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},

OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},

Выразим с помощью теоремы косинусов отрезок
PQ
из треугольников
KPQ
и
OPQ
и решим полученное уравнение относительно косинуса искомого угла.
Обозначим
\angle PKQ=\angle POQ=\varphi
. Тогда
KP^{2}+KQ^{2}-2KP\cdot KQ\cos\varphi=OP^{2}+OQ^{2}-2OP\cdot OQ\cos\varphi.

Следовательно,
\cos\varphi=\frac{KP^{2}+KQ^{2}-OP^{2}-OQ^{2}}{2(KP\cdot KQ-OP\cdot OQ)}=

=\frac{\frac{49}{4}+11-\frac{7}{4}-3}{2\left(\frac{7}{2}\cdot\sqrt{11}-\frac{\sqrt{7}}{2}\cdot\sqrt{3}\right)}=\frac{37}{2(7\sqrt{11}-\sqrt{21})}=\frac{7\sqrt{11}+\sqrt{21}}{28}.

Второй способ. Пусть
O
— центр окружности;
P
,
Q
— середины хорд
NH
и
AF
. Поскольку
KA\cdot FK=KN\cdot KH
, то
(\sqrt{11}-1)(\sqrt{11}+1)=2(2+NH).

Отсюда находим, что
NH=3
,
KH=KN+NH=5
. Далее последовательно находим:
OP=\sqrt{OH^{2}-PH^{2}}=\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2},

OQ=\sqrt{OA^{2}-AQ^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},

OK=\sqrt{OQ^{2}+KQ^{2}}=\sqrt{3+11}=\sqrt{14},

\sin\angle QKO=\frac{OQ}{OK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}},~\sin\angle PKO=\frac{OP}{OK}=\frac{1}{2\sqrt{2}},

\cos\angle QKO=\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}},~\cos\angle PKO=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.

Следовательно,
\sin\angle HKF=\sin(\angle QKO-\angle PKO)=

=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{14}}=\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{77}}{28}.


Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1989, вариант 1, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 81