120. Из точки M
, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C
, лежащей на окружности, до касательных равны a
и b
. Найдите расстояние от точки C
до прямой AB
, где A
и B
— точки касания.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Указание. Пусть x
— искомый отрезок. Рассмотрите подобные треугольники, среди сторон которых есть a
, b
и x
.
Решение. Пусть P
, Q
, N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки C
на прямые MA
, MB
, AB
соответственно. Докажем, что треугольник PCN
подобен треугольнику NCQ
.
Действительно, отрезок AC
виден из точек P
и N
под прямым углом. Значит, точки P
и N
лежат на окружности с диаметром AC
. Точки N
и Q
лежат на окружности с диаметром BC
. Поэтому \angle CPN=\angle CAN=\angle CAB
, а из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CAB=\angle CBQ=\angle CNQ
. Аналогично \angle CNP=\angle CQN
. Значит, треугольники PCN
и NCQ
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{CN}{CQ}=\frac{CP}{CN}
. Поэтому
CN^{2}=CP\cdot CQ=ab.
