148. На хорде AB
окружности S
с центром в точке O
взята точка C
. D
— вторая точка пересечения окружности S
с окружностью, описанной около треугольника ACO
. Докажите, что CD=CB
.
Указание. OC
— биссектриса угла DOB
.
Решение. Рассмотрим случай, когда точки D
и C
лежат по разные стороны от AO
. Пусть \angle DOC=\alpha
. Тогда
\angle DAC=180^{\circ}-\alpha,~\angle DOB=360^{\circ}-2\angle DAB=
=360^{\circ}-(360^{\circ}-2\alpha)=2\alpha.
Значит, OC
— биссектриса угла DOB
. Поскольку треугольник DOB
равнобедренный, то прямая OC
— серединный перпендикуляр к отрезку DB
. Следовательно, CD=CB
.
