163. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Противоположные стороны AB
и CD
при продолжении пересекаются в точке K
, стороны BC
и AD
— в точке L
. Докажите, что биссектрисы углов BKC
и BLA
пересекаются на прямой, проходящей через середины AC
и BD
.
Указание. Пусть M
и N
— середины AC
и BD
соответственно. Докажите, что обе биссектрисы делят отрезок MN
в одном и том же отношении, равном \frac{AC}{DB}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины AC
и BD
соответственно. Треугольники AKC
и DBK
подобны по двум углам, MK
и KN
— их медианы. Поэтому
\frac{MK}{KN}=\frac{AC}{BD},~\angle AKM=\angle DKN.
Значит, биссектриса угла AKD
является биссектрисой угла MKN
. Следовательно, она делит сторону MN
треугольника KMN
в отношении \frac{MK}{KN}=\frac{AC}{DB}
.
Аналогично для биссектрисы угла BLA
. Следовательно, обе биссектрисы проходят через одну и ту же точку отрезка MN
.
