164. Дана окружность, её диаметр AB
и точка C
на этом диаметре. Постройте на окружности две точки X
и Y
, симметричные относительно диаметра AB
, для которых прямая YC
перпендикулярна прямой XA
.
Указание. Докажите, что XB\parallel YC
.
Решение. Предположим, что искомые точки X
и Y
построены. Тогда \angle AXB=90^{\circ}
. Поэтому XB\parallel YC
.
Пусть M
— точка пересечения отрезка XY
с диаметром AB
. Прямоугольные треугольники XMB
и YMC
равны (по катету и острому углу). Следовательно, CM=MB
, т. е. M
— середина отрезка BC
.
Отсюда вытекает следующее построение. Через середину M
отрезка BC
проводим прямую, перпендикулярную данному диаметру AB
. Эта прямая пересекает окружность в искомых точках X
и Y
.
