166. Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Указание. Точка пересечения диагоналей, её проекции на соседние стороны и общая точка этих сторон лежат на одной окружности.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
четырёхугольника ABCD
; M
, N
, P
, Q
— проекции точки O
на AB
, BC
, CD
и AD
. Тогда
\angle QMO+\angle QPO=\angle QAO+\angle QDO=90^{\circ}
(так как точки M
и Q
лежат на окружности с диаметром AO
, а точки P
и Q
— на окружности с диаметром OD
). Аналогично \angle OMN+\angle OPN=90^{\circ}
. Поэтому
\angle QPN+\angle QMN=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник MNPQ
— вписанный.
Примечание. Верно и обратное: если в четырёхугольнике ABCD
основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами вписанного четырёхугольника, то диагонали четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Это доказывается точно так же.