172. Отрезок KL
является диаметром некоторой окружности. Через его концы K
и L
проведены две прямые, пересекающие окружность соответственно в точках P
и Q
, лежащих по одну сторону от прямой KL
. Найдите радиус окружности, если \angle PKL=60^{\circ}
и точка пересечения прямых KP
и QL
удалена от точек P
и Q
на расстояние 1.
Ответ. 1.
Указание. Треугольник KML
— равносторонний (M
— точка пересечения прямых KP
и LQ
).
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямых KP
и LQ
. Точка M
не может лежать на окружности. Если M
расположена внутри круга, то KM\cdot MP=LM\cdot MQ
. Поэтому KM=ML
, что невозможно.
Если точка M
расположена вне круга, то MP\cdot MK=MQ\cdot ML
. Поэтому KM=ML
. Тогда треугольник KML
— равносторонний. Его высота KQ
является медианой. Следовательно,
KL=ML=2MQ=2,
а искомый радиус равен 1.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1979, № 2, вариант 1