175. Угол при вершине A
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Докажите, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника ABC
, лежит на биссектрисе угла A
.
Решение. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC
. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон BC
, AC
и AB
соответственно, O_{1}
— центр окружности, проходящей через точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. Тогда центральный угол B_{1}O_{1}C_{1}
этой окружности вдвое больше вписанного угла B_{1}A_{1}C_{1}
. Значит,
\angle B_{1}O_{1}C_{1}=2\angle B_{1}A_{1}C_{1}=2\angle BAC=120^{\circ}.
Тогда около четырёхугольника AB_{1}O_{1}C_{1}
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы B_{1}AO_{1}
и C_{1}AO_{1}
опираются на равные дуги (стягиваемые равными хордами O_{1}B_{1}
и O_{1}C_{1}
), значит, они равны. Следовательно, AO_{1}
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для тупоугольного и прямоугольного треугольников.