219. В треугольник ABC
вписана окружность. Пусть x
— расстояние от вершины A
до точки касания окружности со стороной AB
, BC=a
. Докажите, что x=p-a
, где p
— полупериметр треугольника.
Указание. Используя равенство касательных, проведённых к окружности из одной точки, выразите сторону, равную a
, через остальные стороны треугольника и указанный отрезок x
.
Решение. Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами AB
, BC
и AC
через C_{1}
, A_{1}
и B_{1}
соответственно. Пусть AC=b
и AB=c
. Тогда
BA_{1}=BC_{1}=AB-AC_{1}=c-x,~CA_{1}=CB_{1}=AC-AB_{1}=b-x,
BC=BA_{1}+CA_{1}=c-x+b-x=b+c-2x.
Следовательно,
x=\frac{b+c-a}{2}=\frac{b+c+a}{2}-a=p-a.
