307. Три последовательных угла вписанного четырёхугольника относятся как 1:2:3
. Найдите все углы четырёхугольника.
Ответ. 45^{\circ}
, 90^{\circ}
, 135^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Указание. Суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны между собой.
Решение. Поскольку суммы противоположных углов вписанного четырёхугольника равны между собой (каждая сумма равна 180^{\circ}
), то на четвёртый угол приходится 2 части. Поэтому углы четырёхугольника равны \frac{1}{8}
, \frac{1}{4}
, \frac{3}{8}
и \frac{1}{4}
суммы всех углов, т. е. 360^{\circ}
. Следовательно, искомые углы равны 45^{\circ}
, 90^{\circ}
135^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 88(2), с. 41