321. В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 и 3.
Ответ. 7, 25, 24.
Указание. Данный треугольник — прямоугольный.
Решение. Пусть вписанная окружность касается стороны AB
треугольника ABC
в точке K
(AK=3
, KB=4
), сторон AC
и BC
— в точках M
и N
соответственно.
Если O
— центр окружности, то AMOK
— квадрат. Поэтому \angle BAC=90^{\circ}
. Обозначим CM=CN=x
. По теореме Пифагора
(3+x)^{2}+7^{2}=(4+x)^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=21
. Следовательно,
AC=CM+AM=24,~BC=BN+CN=25.