322. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны 2 и 5 соответственно. Найдите катеты треугольника.
Ответ. 6 и 8.
Указание. Гипотенуза — диаметр описанной окружности.
Решение. Обозначим через x
расстояние от вершины одного из острых углов до точки касания с вписанной окружностью. Поскольку гипотенуза равна 10, то катеты равны 2+x
и 12-x
. По теореме Пифагора
(2+x)^{2}+(12-x)^{2}=100.
Из этого уравнения находим, что x=4
или x=6
. Следовательно, катеты треугольника равны 6 и 8.