333. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга равно отношению периметра трапеции к длине окружности.
Указание. Выразите площадь трапеции через её периметр и радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть P
— периметр трапеции, R
— радиус круга. Тогда средняя линия трапеции равна \frac{P}{4}
, а площадь —
\frac{P}{4}\cdot2R=\frac{P\cdot R}{2}.
Площадь круга равна \pi R^{2}
. Следовательно, отношение площадей равно \frac{P}{2\pi R}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.183, с. 170