334. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.
Ответ. \frac{8}{5}
.
Указание. Треугольник KQO
с вершинами в центре вписанной окружности, в точке пересечения диагоналей указанного четырёхугольника и в точке касания с боковой стороной трапеции подобен треугольнику QOM
, где P
— середина этой боковой стороны.
Решение. Пусть a
и b
— длины оснований AD
и CB
трапеции ABCD
; P
, F
, Q
, T
— точки касания окружности со сторонами CD
, AD
, AB
и BC
соответственно; O
— центр окружности; K
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника PFQT
; M
— середина AB
. Тогда
OM=\frac{a+b}{4},~a+b=5.
Из подобия треугольников KQO
и QOM
находим, что
KQ=\frac{OQ^{2}}{OM}=\frac{4}{a+b}.
Следовательно, искомая площадь равна
\frac{1}{2}PQ\cdot FT=KQ\cdot FT=\frac{8}{a+b}=\frac{8}{5}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.393, с. 184