338. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около неё, если известно, что эти окружности существуют.
Ответ. 4; \frac{5\sqrt{41}}{4}
.
Указание. Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
Решение. Поскольку трапеция вписанная, то она — равнобедренная. Пусть r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей.
Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на отрезки 2 и 8. Поэтому r=\sqrt{2\cdot8}=4
(см. задачу 656).
Диагональ трапеции — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 8 (высота трапеции, опущенная из вершины меньшего основания на большее) и 10 (проекция диагонали на большее основание, равная длине средней линии). Эта диагональ видна из вершины большего основания трапеции под углом \alpha
, синус которого равен \frac{4}{5}
(угол боковой стороны с основанием). Следовательно,
R=\frac{\sqrt{8^{2}+10^{2}}}{2\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{41}}{\frac{8}{5}}=\frac{5\sqrt{41}}{4}.
