348. В треугольнике ABC
с периметром 2p
острый угол BAC
равен \alpha
. Окружность с центром в точке O
касается стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Точка D
лежит внутри отрезка AK
, AD=a
. Найдите площадь треугольника DOK
.
Ответ. \frac{1}{2}p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.
Решение. Пусть M
— точка касания данной окружности со стороной BC
. Тогда
KB=BM,~LC=CM,~2p=AB+BC+AC=AK+AL,
а так как AK=AL
, то AK=p
. Поэтому
OK=AK\tg\frac{\alpha}{2}=p\tg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S_{DOK}=\frac{1}{2}DK\cdot OK=\frac{1}{2}p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1983, № 3, вариант 14
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — № 3, с. 15
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11.24, с. 88