348. В треугольнике ABC
с периметром 2p
острый угол BAC
равен \alpha
. Окружность с центром в точке O
касается стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
в точках K
и L
соответственно. Точка D
лежит внутри отрезка AK
, AD=a
. Найдите площадь треугольника DOK
.
Ответ. \frac{1}{2}p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}
.
Указание. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны между собой.
Решение. Пусть M
— точка касания данной окружности со стороной BC
. Тогда
KB=BM,~LC=CM,~2p=AB+BC+AC=AK+AL,
а так как AK=AL
, то AK=p
. Поэтому
OK=AK\tg\frac{\alpha}{2}=p\tg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S_{DOK}=\frac{1}{2}DK\cdot OK=\frac{1}{2}p(p-a)\tg\frac{\alpha}{2}.
