351. С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.
Указание. Искомая прямая является касательной к некоторой окружности, вписанной в этот угол.
Решение. Пусть A
— вершина данного угла, 2p
— данный периметр. Отложим на сторонах угла точки B
и C
так, что AB=AC=p
. Впишем в угол окружность, касающуюся его сторон в точках B
и C
.
Пусть M
— точка внутри данного угла (рис. 1). Если точка M
окажется внутри криволинейного треугольника ABC
, ограниченного отрезками AB
, AC
и меньшей дугой BC
окружности, то проведём через точку M
касательные к окружности.
Пусть одна из проведённых касательных пересекает стороны AB
и AC
данного угла в точках P
и Q
соответственно и касается окружности в точке K
. Тогда
AP+PQ+QA=AP+(PK+KQ)+QA=(AP+PK)+(KQ+QA)=
=(AP+PB)+(CQ+QA)=AB+AC=2p.
Аналогично для второй касательной. Таким образом, в этом случае задача имеет два решения (если точка M
лежит на меньшей дуге BC
и отлична от точек B
и C
, то эти решения совпадают).
Если точка M
лежит внутри угла, но вне указанного криволинейного треугольника, то задача не имеет решений.
Пусть теперь точка M
расположена вне угла (рис. 2). Если одна из касательных к построенной окружности отсекает от данного угла треугольник, для которого эта окружность — вневписанная, то отсечённый треугольник — искомый (доказательство аналогично изложенному выше). В этом случае задача имеет единственное решение.
В остальных случаях решений нет.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1936, II, 2-й тур
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 7, с. 21
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 17
Источник: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — Ч. 2: Геометрия (планиметрия). — М.: ГТТИ, 1952. — № 76(а), с. 26
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.39, с. 200