362. Дана окружность и точка A
вне её; AB
и AC
— касательные к окружности (B
и C
— точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, лежит на данной окружности.
Указание. Докажите, что середина меньшей дуги BC
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть M
— середина меньшей дуги BC
. Докажем, что M
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Действительно, AM
— биссектриса угла A
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MBA=\frac{1}{2}\smile MB=\frac{1}{2}\smile MC=\frac{1}{4}\smile MBC=\frac{1}{2}\angle ABC,
Значит, BM
— также биссектриса треугольника ABC
. Следовательно, M
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр его вписанной окружности.
Примечание. Аналогично можно доказать, что центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, также лежит на описанной окружности этого треугольника.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 100, с. 40
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 56, с. 11
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 56, с. 10
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 451
Источник: Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7—9 кл. средней школы / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — с. 89
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.4, с. 16
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 49, с. 62
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.91а, с. 41
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.96а, с. 40