362. Дана окружность и точка A
вне её; AB
и AC
— касательные к окружности (B
и C
— точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, лежит на данной окружности.
Указание. Докажите, что середина меньшей дуги BC
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть M
— середина меньшей дуги BC
. Докажем, что M
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Действительно, AM
— биссектриса угла A
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle MBA=\frac{1}{2}\smile MB=\frac{1}{2}\smile MC=\frac{1}{4}\smile MBC=\frac{1}{2}\angle ABC,
Значит, BM
— также биссектриса треугольника ABC
. Следовательно, M
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр его вписанной окружности.
Примечание. Аналогично можно доказать, что центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, также лежит на описанной окружности этого треугольника.