367. Окружность радиуса 2 касается внешним образом другой окружности в точке A
. Общая касательная к обеим окружностям, проведённая через точку A
, пересекается с другой их общей касательной в точке B
. Найдите радиус второй окружности, если AB=4
.
Ответ. 8.
Указание. Если r
и R
— радиусы окружностей, то AB=\sqrt{rR}
.
Решение. Первый способ. Пусть r
и R
— радиусы окружностей (r=2
), C
и D
— точки касания окружностей со второй (внешней) касательной. Тогда
BC=AB=BD=4,~CD=8,
а так как CD=2\sqrt{rR}
(см. задачу 365), то \sqrt{2R}=4
. Отсюда находим, что R=8
.
Второй способ. Если O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, то \angle O_{1}BO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Тогда BA
— высота прямоугольного треугольника O_{1}BO_{2}
, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу O_{1}O_{2}
. Следовательно,
O_{1}A\cdot O_{2}A=AB^{2}=16.
Отсюда находим, что O_{2}A=8
.
