369. Теорема Брахмагупты. Диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны и пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая, проходящая через точку P
и перпендикулярная одной из сторон четырёхугольника, делит противоположную сторону пополам.
Решение. Пусть H
и M
— точки пересечения данной прямой со сторонами соответственно AD
и BC
данного четырёхугольника ABCD
, PH\perp AD
.
Обозначим \angle ACB=\angle ADB=\alpha
. Тогда
\angle BPM=\angle DPH=90^{\circ}-\alpha,~\angle CPM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha=\angle PCM,
значит, треугольник CMP
равнобедренный, PM=CM
. Аналогично PM=BM
. Следовательно, PM
— медиана треугольника BPC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Обратное утверждение также верно: прямая, проходящая через точку P
и середину стороны такого четырёхугольника, перпендикулярна противоположной стороне.
2. См. статью В.Дубровского «Геометрические метаморфозы», Квант, 1997, N6, с.26-30.