371. Найдите отношение радиусов двух окружностей, касающихся между собой, если каждая из них касается сторон угла, равного \alpha
.
Ответ. \frac{1-\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\frac{\alpha}{2}}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла.
Решение. Пусть r
и R
— радиусы окружностей (R\gt r
). Проведём радиус большей окружности в точку касания с одной из сторон угла и опустим на него перпендикуляр из центра меньшей окружности. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R+r
, катетом R-r
и противоположным этому катету острым углом, равным \frac{\alpha}{2}
. Значит,
\frac{R-r}{R+r}=\sin\frac{\alpha}{2}.
Отсюда находим, что
\frac{r}{R}=\frac{1-\sin\frac{\alpha}{2}}{1+\sin\frac{\alpha}{2}}.