372. В острый угол, равный 60^{\circ}
, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r
. Найдите радиус большей окружности.
Ответ. 3r
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон угла.
Решение. Пусть R
— радиус большей окружности. Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания с одной из сторон данного угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R+r
, катетом R-r
и острым углом, равным 30^{\circ}
, противолежащим этому катету. Тогда
R+r=2(R-r).
Отсюда находим, что R=3r
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.048, с. 162
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 9.11, с. 67