383. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен r
.
Ответ. 6r\sqrt{3}
.
Указание. Опустите перпендикуляр из центра одной из меньших окружностей на радиус большей окружности, проведённый в точку касания со стороной рассматриваемого угла.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Опустим перпендикуляр из центра меньшей окружности на радиус большей окружности, проведённый в точку касания со стороной рассматриваемого угла. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой R+r
, катетом R-r
и углом в 30^{\circ}
, противолежащим этому катету. Поэтому R+r=2(R-r)
. Отсюда находим, что R=3r
. Следовательно, сторона треугольника равна 6r\sqrt{3}
.
