387. На окружности радиуса r
выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделённой на три дуги, которые относятся как 3:4:5
. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.
Ответ. r^{2}(2\sqrt{3}+3)
.
Указание. Найдите углы треугольника.
Решение. Угловые величины полученных дуг равны
\frac{3}{12}\cdot360^{\circ}=90^{\circ},~\frac{4}{12}\cdot360^{\circ}=120^{\circ},~\frac{5}{12}\cdot360^{\circ}=150^{\circ}.
Поэтому углы треугольника равны 90^{\circ}
, 60^{\circ}
и 30^{\circ}
. Тогда меньший катет равен r(\sqrt{3}+1)
, а больший — r(\sqrt{3}+3)
.
