388. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a
. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности и найдите её радиус.
Ответ. \frac{a}{2}
.
Указание. Докажите, что из каждой такой точки отрезок с концами в центрах окружностей виден под прямым углом.
Решение. Поскольку центр окружности вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, а угол между биссектрисами смежных углов — прямой, то из каждой точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними отрезок O_{1}O_{2}
с концами в центрах окружностей виден под прямым углом. Значит, каждая такая точка лежит на окружности с диаметром O_{1}O_{2}=a
. Следовательно, радиус окружности равен \frac{a}{2}
.
