394. Радиус вписанной в треугольник ABC
окружности равен \sqrt{3}-1
. Угол BAC
равен 60^{\circ}
, а радиус окружности, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
, равен \sqrt{3}+1
. Найдите углы ABC
и ACB
данного треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Указание. Найдите расстояние между центрами данных окружностей.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры окружностей радиусов \sqrt{3}-1
и \sqrt{3}+1
соответственно, P
и N
— точки касания окружностей с прямой AC
, M
— точка пересечения биссектрисы AO_{1}
угла A
со стороной BC
. Тогда
OO_{1}=AO_{1}-AO=2O_{1}N-2OP=4.
Опустим перпендикуляр OF
на продолжение радиуса большей окружности, проведённого в точку касания с прямой BC
. Тогда
O_{1}F=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3},~\cos\angle FO_{1}O=\frac{O_{1}F}{O_{1}O}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\angle FO_{1}O=30^{\circ},~\angle CMA=60^{\circ},~\angle ABC=\angle CMA-\angle MAB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
\angle ACB=90^{\circ}.
