394. Радиус вписанной в треугольник ABC
окружности равен \sqrt{3}-1
. Угол BAC
равен 60^{\circ}
, а радиус окружности, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
, равен \sqrt{3}+1
. Найдите углы ABC
и ACB
данного треугольника.
Ответ. 30^{\circ}
, 90^{\circ}
.
Указание. Найдите расстояние между центрами данных окружностей.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры окружностей радиусов \sqrt{3}-1
и \sqrt{3}+1
соответственно, P
и N
— точки касания окружностей с прямой AC
, M
— точка пересечения биссектрисы AO_{1}
угла A
со стороной BC
. Тогда
OO_{1}=AO_{1}-AO=2O_{1}N-2OP=4.
Опустим перпендикуляр OF
на продолжение радиуса большей окружности, проведённого в точку касания с прямой BC
. Тогда
O_{1}F=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1=2\sqrt{3},~\cos\angle FO_{1}O=\frac{O_{1}F}{O_{1}O}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\angle FO_{1}O=30^{\circ},~\angle CMA=60^{\circ},~\angle ABC=\angle CMA-\angle MAB=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ},
\angle ACB=90^{\circ}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1988, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — с. 80
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11.35, с. 89