403. Дана окружность радиуса R
. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.
Ответ. \frac{R}{\sqrt{2}-1}
.
Указание. Четырёхугольник с вершинами в центрах четырёх данных равных окружностей — квадрат.
Решение. Пусть R
— радиус данной окружности, x
— радиус остальных окружностей. Обозначим их центры соответственно O
, O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
.
Четырёхугольник O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
— ромб со стороной 2x
. Поскольку его вершины расположены на одинаковом расстоянии от точки O
, то это квадрат. Поэтому 2x=(R+x)\sqrt{2}
. Отсюда находим, что
x=\frac{R}{\sqrt{2}-1}.
