406. В треугольнике ABC
на стороне AC
взята точка D
. Окружности, вписанные в треугольники ABD
и BCD
, касаются стороны AC
в точках M
и N
соответственно. Известно, что AM=3
, MD=2
, DN=2
, NC=4
. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. AB=\frac{21}{2}
, BC=\frac{23}{2}
, AC=11
.
Указание. Примените формулу Герона или теорему косинусов.
Решение. Поскольку DM=DN
, то окружности касаются BD
в одной и той же точке. Обозначим её через T
. Пусть P
и Q
— точки касания окружностей со сторонами AB
и AC
, BP=BT=BQ=x
.
По формуле Герона
S_{\triangle ABD}=\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3},~S_{\triangle BCD}=\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}.
С другой стороны, \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{AD}{DC}=\frac{5}{6}
. Из уравнения
\frac{\sqrt{(x+5)\cdot x\cdot2\cdot3}}{\sqrt{(x+6)\cdot x\cdot2\cdot4}}=\frac{5}{6}
находим, что x=\frac{15}{2}
. Следовательно,
AB=3+x=\frac{21}{2},~BC=4+x=\frac{23}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1981, билет 2, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 81-2-4, с. 232