410. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна h
.
Ответ. 45^{\circ}
; 45^{\circ}
; 90^{\circ}
; \frac{h^{2}}{2}
.
Указание. Рассмотрите прямоугольник, образованный пересечением прямых, содержащих катеты исходного треугольника, и радиусами окружностей, проведёнными в точки касания с этими катетами.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, \angle C=90^{\circ}
, CD
— его высота, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ACD
и BCD
, r_{1}
и r_{2}
— их радиусы, P
и Q
— точки касания со сторонами AC
и BC
, L
и K
— со стороной DC
, M
и N
— точки пересечения прямой O_{1}O_{2}
со сторонами AC
и BC
, F
— точка пересечения прямых PO_{1}
и QO_{2}
.
Тогда PCQF
— прямоугольник, PF=CQ
, QF=CP
. Поэтому
FO_{1}=PF-r_{1}=CQ-r_{1}=CK-r_{1},
FO_{2}=FQ-r_{2}=CP-r_{2}=CL-r_{2}.
Поскольку CK+r_{2}=CL+r_{1}=CD
, то CK-r_{1}=CL-r_{2}
. Поэтому \angle FO_{1}O_{2}=45^{\circ}
. Следовательно,
\angle CNM=45^{\circ},~CN=CQ+r_{2}=CK+r_{2}=CD=h.
