426. Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках A
и B
и пересекает биссектрису угла в точках C
и D
. Хорда AB
равна \sqrt{6}
, хорда CD
равна \sqrt{7}
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \sqrt{2}
.
Указание. Обозначьте искомый радиус через x
и решите соответствующее уравнение.
Решение. Пусть K
— вершина данного прямого угла, M
— точка касания, O
— центр окружности, x
— её радиус, P
и Q
— основания перпендикуляров, опущенных из O
на AB
и CD
, F
— точка пересечения OM
и CD
. Тогда
MK=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}},~OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},
MK=MF=MO-OF=MO-OQ\sqrt{2},
или
\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=x-\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.
Запишем это уравнение в виде
x-\sqrt{x^{2}-\frac{3}{2}}=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}}.
Отсюда находим, что x=\sqrt{2}
.