427. На плоскости дан прямой угол. Окружность с центром, расположенным вне данного угла, касается биссектрисы прямого угла, пересекает одну из его сторон в точках A
и B
и пересекает продолжение другой стороны в точках C
и D
. Хорда AB
равна \sqrt{7}
, хорда CD
равна 1. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Указание. Обозначьте искомый радиус через x
и решите соответствующее уравнение.
Решение. Пусть K
— вершина данного прямого угла, M
— точка касания с биссектрисой, O
— центр окружности, P
и Q
— проекции точки O
на AB
и CD
, L
— точка пересечения OM
и AB
. Обозначим искомый радиус через x
. Тогда
OQ=\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}},~LP=OP=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}},
KL=\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},
OQ=PK=PL+KL=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},
или
\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{x^{2}-\frac{7}{4}}+\sqrt{2x^{2}-\frac{7}{2}},
или
\sqrt{4x^{2}-1}+\sqrt{4x^{2}-7}=2\sqrt{2}x.
Отсюда находим, что x=\frac{3}{2}
.