433. Окружность радиуса r
касается некоторой прямой в точке M
. На этой прямой по разные стороны от M
взяты точки A
и B
, причём MA=MB=a
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
и B
и касающейся данной окружности.
Ответ. \frac{a^{2}+4r^{2}}{4r}
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.
Решение. Пусть R
— радиус искомой окружности, O_{1}
— её центр, K
— точка касания окружностей (касание внутреннее), O
— центр данной окружности. Тогда MO_{1}=|KM-O_{1}K|=|2r-R|
.
Поскольку треугольник MBO_{1}
прямоугольный, то
BO^{2}_{1}=MO^{2}_{1}+MB^{2},~\mbox{или}~R^{2}=(2r-R)^{2}+a^{2}.
Отсюда находим, что
R=\frac{a^{2}+4r^{2}}{4r}.
