435. В четырёхугольнике ABCD
известны углы: \angle DAB=90^{\circ}
, \angle DBC=90^{\circ}
. Кроме того, DB=a
, DC=b
. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D
, A
, B
, а другая — через точки B
, C
, D
.
Ответ. \frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{2}
.
Указание. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы.
Решение. Центр окружности, проходящей через точки D
, A
и B
есть середина M
отрезка DB
; центр окружности, проходящей через точки B
, C
и D
— середина N
отрезка DC
; MN
— средняя линия треугольника DBC
. Следовательно,
MN=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{DC^{2}-DB^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{2}.
