437. В выпуклый четырёхугольник ABCD
вписана окружность с центром в точке O
, причём AO=OC
, BC=5
, CD=12
, а угол DAB
— прямой. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 60.
Указание. Докажите равенство треугольников DAB
и DCB
.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и BC
соответственно. Треугольники AMO
и CNO
равны по катету и гипотенузе. Поэтому AM=CN
, а так как BM=BN
, то AB=BC=5
. Аналогично AD=DC=12
. Поэтому треугольники DAB
и DCB
равны по трём сторонам. Следовательно, площадь данного четырёхугольника равна удвоенной площади треугольника DAB
, т. е. 60.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1982, № 2, вариант 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — № 2, с. 12