446. Трапеция ABCD
с основаниями BC=2
и AD=10
такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т. е. расположен он внутри или вне её, или же на одной из сторон трапеции ABCD
. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
Ответ. Вне; \frac{3\sqrt{14}}{5}
.
Указание. Докажите, что угол ACD
— тупой. Радиус описанной окружности найдите по формуле: R=\frac{a}{2\sin\alpha}
.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы вписанного и описанного кругов, K
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины C
на сторону AD
. Поскольку трапеция вписанная, то она равнобедренная. Тогда AK=6
, KD=4
, а т. к. 2\cdot CD=BC+AD
, то CD=6
. Отсюда находим, что
CK=2\sqrt{5},~AC=2\sqrt{14}.
С помощью теоремы косинусов убеждаемся, что угол \angle ACD
тупой. Поэтому центр описанного круга лежит вне трапеции. Кроме того,
\sin\angle D=\frac{CK}{CD}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Поэтому
R=\frac{AC}{2\sin\angle D}=\frac{3\sqrt{14}}{5},~r=\frac{1}{2}CK=\sqrt{5}.
Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{3\sqrt{14}}{5}.
