447. На отрезке AB
, равном 2R
, как на диаметре построена окружность. Вторая окружность того же радиуса, что и первая, имеет центр в точке A
. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка AB
. Найдите радиус третьей окружности.
Ответ. \frac{R\sqrt{3}}{4}
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.
Решение. Пусть O
— центр первой окружности, O_{1}
— центр третьей окружности, M
— её точка касания с прямой AB
, x
— её радиус. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому
OO_{1}=R-x,~AO_{1}=R+x.
По теореме Пифагора
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-MO_{1}^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},
AM^{2}+MO_{1}^{2}=AO_{1}^{2},
или
(R+\sqrt{R^{2}-2Rx})^{2}+x^{2}=(R+x)^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{R\sqrt{3}}{4}
.
