448. На отрезке AB
, равном 2R
, как диаметре построена окружность. Вторая окружность, радиус которой равен половине радиуса первой окружности, касается её внутренним образом в точке A
. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка AB
. Найдите радиус третьей окружности.
Ответ. \frac{4R}{9}
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры первой, второй и третьей окружностей соответственно, x
— радиус третьей окружности, M
— её точка касания с отрезком AB
. Тогда
O_{1}M=\sqrt{OO^{2}-MO^{2}}=\sqrt{(R-x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{R^{2}-2Rx},
MO^{2}_{2}+MO^{2}_{3}=O_{2}O^{2}_{3},
или
\left(\frac{R}{2}+\sqrt{R^{2}-2Rx}\right)^{2}+x^{2}=\left(\frac{R}{2}+x\right)^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{4R}{9}
.
