454. В круговой сектор с центральным углом 120^{\circ}
вписана окружность. Найдите её радиус, если радиус данной окружности равен R
.
Ответ. R\sqrt{3}(2-\sqrt{3})
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.
Решение. Пусть x
— радиус искомой окружности, O_{1}
— её центр, OA
и OB
— радиусы данного сектора, M
— точка касания окружностей, K
— точка касания искомой окружности с радиусом OB
. Тогда
OO_{1}=R-x,~KO_{1}=x,~\angle KOO_{1}=60^{\circ},
KO_{1}=OO_{1}\sin\angle KOO_{1},~\mbox{или}~x=\frac{(R-x)\sqrt{3}}{2}.
Отсюда находим, что
x=\frac{R\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=R\sqrt{3}(2-\sqrt{3}).
