470. Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку A
, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку A
.
Указание. Из двух хорд данной окружности наименее удалённая от центра имеет большую длину.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности, MN
— хорда, проходящая через точку A
перпендикулярно диаметру, содержащему отрезок OA
, P
— проекция центра O
на произвольную хорду XY
окружности, проходящую через точку A
и отличную от MN
.
Поскольку катет OP
прямоугольного треугольника APO
меньше гипотенузы AO
, то хорда XY
ближе к центру окружности, чем хорда MN
. Следовательно, XY\gt MN
.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 12, с. 31
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 18(1), с. 30
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 54, с. 72