471. Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром O
. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки O
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку касания.
Решение. Пусть O_{1}
— центр третьей окружности, OA
и OB
— касательные к ней (A
и B
— точки касания). Тогда OO_{1}
— биссектриса угла AOB
,
AO_{1}=\frac{3-1}{2}=1,~OO_{1}=1+1=2,~\angle OAO_{1}=90^{\circ}.
Поэтому \angle AOO_{1}=30^{\circ}
, а \angle AOB=60^{\circ}
.
