472. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c
. Центры трёх окружностей радиуса \frac{c}{5}
находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.
Ответ. \frac{3c}{10}
.
Указание. Центр искомой окружности равноудалён от вершин треугольника.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, \angle C=90^{\circ}
, O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Тогда
OA=OB=OC=R+\frac{c}{5}.
Поэтому O
— середина гипотенузы AB
. Следовательно,
R+\frac{c}{5}=\frac{c}{2},~R=\frac{3c}{10}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 107, с. 16
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 107, с. 14