472. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c
. Центры трёх окружностей радиуса \frac{c}{5}
находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.
Ответ. \frac{3c}{10}
.
Указание. Центр искомой окружности равноудалён от вершин треугольника.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, \angle C=90^{\circ}
, O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Тогда
OA=OB=OC=R+\frac{c}{5}.
Поэтому O
— середина гипотенузы AB
. Следовательно,
R+\frac{c}{5}=\frac{c}{2},~R=\frac{3c}{10}.
