474. В треугольнике ABC
на наибольшей стороне BC
, равной b
, выбирается точка M
. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM
и ACM
.
Ответ. \frac{b}{2}
.
Указание. Рассмотрите проекцию отрезка с концами в центрах окружностей на сторону BC
.
Решение. Проекции центров O_{1}
и O_{2}
данных окружностей на BC
— середины P
и Q
отрезков BM
и MC
соответственно. Тогда O_{1}O_{2}\geqslant PQ=\frac{b}{2}
.
Если AM
— высота треугольника BAC
, то
O_{1}O_{2}=PQ=\frac{b}{2}.
В остальных случаях O_{1}O_{2}\gt\frac{b}{2}
.
