485. Дан угол с вершиной O
, равный \alpha
. На одной его стороне взята точка M
и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке N
. Точно так же в точке K
на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке P
. Пусть B
— точка пересечения прямых NP
и KP
, а A
— точка пересечения прямых OB
и NP
. Найдите OA
, если OM=a
, OP=b
.
Ответ. \frac{ab\tg\alpha}{\sqrt{a^{2}\tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}
.
Решение. Пусть \alpha\lt90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника OMN
находим, что
MN=OM\tg\angle MON=a\tg\alpha.
Отрезки BM
и OK
— высоты треугольника OBP
, а N
— точка их пересечения, значит, PA
— также высота этого треугольника. Поскольку \angle MNP=\angle AOP
, из прямоугольных треугольников OAP
и NMP
получаем, что
\cos\angle MNP=\frac{MN}{PN}=\frac{MN}{\sqrt{MN^{2}+MP^{2}}}=\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{a^{2}\tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}},
\cos\angle AOP=\frac{OA}{OP}=\frac{OA}{b}.
Из равенства \frac{OA}{b}=\frac{a\tg\alpha}{\sqrt{a^{2}\tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}
находим, что OA=\frac{ab\tg\alpha}{\sqrt{a^{2}\tg^{2}\alpha+(b-a)^{2}}}
.
Аналогично для случая тупого угла.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 139, с. 17