493. В параллелограмме ABCD
острый угол равен \alpha
. Окружность радиуса r
проходит через вершины A
, B
, C
и пересекает прямые AD
и CD
в точках M
и N
. Найдите площадь треугольника BMN
.
Ответ. 2r^{2}\sin^{2}\alpha\sin2\alpha
.
Указание. Треугольник BMN
— равнобедренный.
Решение. Предположим, что точка M
лежит на прямой AD
, а точка N
— на прямой CD
.
Пусть \angle BAD=\alpha
. Тогда
\angle BNM=\angle BAD=\alpha,~\angle BMN=\angle BCN=\alpha.
Отсюда находим, что
BN=BM=2r\sin\alpha,~\angle MBN=180^{\circ}-2\alpha.
Поэтому
S_{\triangle BMN}=\frac{1}{2}\cdot BN\cdot BM\sin\angle NBM=\frac{1}{2}(2r\sin\alpha)^{2}\sin(180^{\circ}-2\alpha)=
=2r^{2}\sin^{2}\alpha\sin2\alpha.
Если же точка M
лежит на прямой CD
, а точка N
— на прямой AD
, то получим тот же результат.
Источник: Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. — М.: Просвещение, 1989. — № 236, с. 210
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 13.26, с. 105
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 153, с. 18