497. Найдите площадь ромба ABCD
, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
и ABD
, равны R
и r
.
Ответ. \frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}
.
Указание. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin\alpha,~AB=2r\sin\angle BDA=2r\sin(90^{\circ}-\alpha)=2r\cos\alpha,
откуда находим, что \tg\alpha=\frac{r}{R}
.
Поскольку
BD=2r\sin2\alpha,~AC=2R\sin2\alpha,
то
S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=2Rr\sin^{2}2\alpha.
Поскольку
\sin2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}},
то
S_{ABCD}=2Rr\sin^{2}2\alpha=2Rr\cdot\left(\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}\right)^{2}=\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}.