497. Найдите площадь ромба ABCD
, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC
и ABD
, равны R
и r
.
Ответ. \frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}
.
Указание. Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего угла.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin\alpha,~AB=2r\sin\angle BDA=2r\sin(90^{\circ}-\alpha)=2r\cos\alpha,
откуда находим, что \tg\alpha=\frac{r}{R}
.
Поскольку
BD=2r\sin2\alpha,~AC=2R\sin2\alpha,
то
S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC=2Rr\sin^{2}2\alpha.
Поскольку
\sin2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}},
то
S_{ABCD}=2Rr\sin^{2}2\alpha=2Rr\cdot\left(\frac{2rR}{R^{2}+r^{2}}\right)^{2}=\frac{8r^{3}R^{3}}{(r^{2}+R^{2})^{2}}.
Второй способ. Пусть a
— сторона ромба, S
— площадь, d_{1}=AC
и d_{2}=BD
— диагонали. Понятно, что d_{1}d_{2}=2S
, d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=4a^{2}
. Площади треугольников ABC
и ABD
равны \frac{1}{2}S
. По формуле задачи 4259 получаем:
4\cdot\frac{1}{2}SR=d_{1}a^{2},\quad4\cdot\frac{1}{2}Sr=d_{2}a^{2}.\eqno(*)
Перемножим равенства (*):
4S^{2}Rr=d_{1}d_{2}a^{4}
или 2SRr=a^{4}
.
Возведём равенства (*) в квадрат и сложим:
4S^{2}(R^{2}+r^{2})=a^{4}(d_{1}^{2}+d_{2}^{2})
или S^{2}(R^{2}+r^{2})=a^{6}
.
Следовательно,
(2SRr)^{3}=a^{12}=(S^{2}(R^{2}+r^{2}))^{2},
откуда S=\frac{8R^{3}r^{3}}{(R^{2}+r^{2})^{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1970, билет 4, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 70-4-3, с. 140
Источник: Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. — М.: Просвещение, 1989. — № 258 с. 212
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 176, с. 22
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 176, с. 21