498. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=BC
и \angle B=\beta
. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D
и E
(DE\parallel AC
). Найдите отношение площадей треугольников ABC
и DBE
.
Ответ. 4\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{3-\cos\beta}}
.
Указание. Произведения отрезков пересекающихся хорд одной окружности равны между собой.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и BC
, h
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины B
, AC=2a
, DM=NE=x
. Тогда
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBE}}=\frac{4a}{a+2x}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}},
DM\cdot ME=AM\cdot MB,~\mbox{или}~x(x+a)=\frac{a^{2}}{4\sin^{2}\frac{\beta}{2}},~
или
x^{2}+ax-\frac{a^{2}}{2+2\cos\beta}=0.
Отсюда находим, что
\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}-1}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DBE}}=\frac{4}{1+\frac{2x}{a}}=\frac{4}{\sqrt{\frac{3-\cos\beta}{1-\cos\beta}}}=4\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{3-\cos\beta}}.