502. В треугольнике ABC
известно, что \angle B=50^{\circ}
, \angle C=70^{\circ}
. Найдите углы треугольника OHC
, где H
— точка пересечения высот, O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 20^{\circ}
, 10^{\circ}
, 150^{\circ}
.
Указание. Точки B
, C
, H
и O
лежат на одной окружности.
Решение. Заметим, что
\angle CHB=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Пусть CC_{1}
и BB_{1}
— высоты треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников CC_{1}B
и BB_{1}C
находим, что
\angle BCH=90^{\circ}-\angle ABC=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ},~\angle CBH=\angle CBB_{1}=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}.
Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому
\angle COB=2\angle BAC=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},~\angle OCB=\angle OBC=30^{\circ},
значит,
\angle OCH=\angle BCH-\angle BCO=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}.
Из точек H
и O
, лежащих по одну сторону от прямой BC
, отрезок BC
виден под одним и тем же углом (120^{\circ}
), значит, точки B
, O
, H
и C
лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle COH=\angle CBH=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ},
\angle CHO=180^{\circ}-\angle OCH-\angle COH=180^{\circ}-10^{\circ}-20^{\circ}=150^{\circ}.
